Aspectos algorítmicos de las curvas de género 2

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dc.contributor.advisorPizarro Madariaga, Amalia
dc.contributor.authorGómez Marín, Jorge
dc.coverage.spatialValparaíso
dc.date.accessioned2025-07-10T13:50:18Z
dc.date.available2025-07-10T13:50:18Z
dc.date.issued2025
dc.description.abstractLas isogenias entre variedades abelianas han sido objeto de estudio en diversas áreas de la matemática, incluyendo geometría algebraica, teoría de números y, más recientemente, criptografía. En particular, las isogenias de Richelot en jacobianos de curvas de género 2 han adquirido gran relevancia en el desarrollo de protocolos criptográficos post-cuánticos, como el esquema G2SIDH, una extensión del SIDH basado en curvas elípticas. En este contexto, el presente trabajo se enfoca en el estudio teórico y computacional de las isogenias de Richelot, proporcionando herramientas fundamentales para su análisis y aplicación en criptografía. El primer capítulo está dedicado a los preliminares necesarios para comprender el problema en estudio. Se inicia con la teoría básica de curvas hiperelípticas de género 2, estableciendo la relación entre los espacios afín y proyectivo, y la estructura de sus cuerpos de funciones. Posteriormente, se abordan conceptos algebraicos esenciales como los anillos locales, anillos Noetherianos y la valoración en puntos de una curva, los cuales son fundamentales para definir divisores y su correspondiente grupo de clases. Además, se introduce la noción de jacobiano de una curva y su representación mediante la forma de Mumford, así como algoritmos para su aritmética eficiente, como el algoritmo de Cantor. También se estudian los subgrupos de torsión y su relación con la estructura del jacobiano, lo cual es clave para el análisis de isogenias. El segundo capítulo se enfoca en el estudio de variedades abelianas y su polarización. Se presentan definiciones y propiedades fundamentales de las variedades abelianas, junto con su dualidad y la teoría de isogenias entre ellas. La polarización juega un papel central en la clasificación de las variedades abelianas y en la selección de ciertas isogenias de interés, como aquellas que surgen exclusivamente entre jacobianos de curvas. Asimismo, se introduce el concepto de emparejamientos de Weil, los cuales tienen aplicaciones en criptografía y en la caracterización de isogenias. Finalmente, el tercer capítulo está dedicado al estudio específico de las isogenias de Richelot. Se inicia con la descomposición cuadrática y la correspondencia de Richelot, proporcionando una base teórica para el cálculo de estas isogenias. Luego, se presentan métodos eficientes para su evaluación y clasificación en función de la estructura del subgrupo núcleo. En particular, se analizan isogenias de tipo (2n , 2n ) y sus ecuaciones asociadas, lo cual permite una implementación más eficiente en el contexto de la criptografía post-cuántica. Se concluye con una descripción del protocolo G2SIDH y su relevancia en la seguridad criptográfica frente a la computación cuántica. En resumen, este trabajo proporciona un estudio detallado de las isogenias de Richelot desde una perspectiva algebraico-geométrica, con un énfasis en su aplicabilidad en criptografía. A través de los diferentes capítulos, se establecen las bases teóricas y computacionales necesarias para comprender la estructura y el cálculo de estas isogenias, contribuyendo así al desarrollo de herramientas matemáticas para la criptografía basada en isogenias.
dc.facultadFacultad de Ciencias
dc.identifier.urihttps://repositoriobibliotecas.uv.cl/handle/uvscl/15973
dc.language.isoes
dc.publisherUniversidad de Valparaíso
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/cl/
dc.titleAspectos algorítmicos de las curvas de género 2
dc.typeTMG
uv.catalogadorPJR CIEN
uv.colectionTesis
uv.departamentoInstituto de Matemáticas
uv.notageneralMagíster en Matemáticas. Universidad de Valparaíso. 2025.

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