Estructura de contacto y superficies minimales inmersas

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2014

Profesor Guía

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Universidad de Valparaíso

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Instituto de Matematicass

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Esta Tesis se desarrolla en el marco de la Teoría de Contacto y Geometría Diferencial. El principal objetivo del trabajo es presentar un análisis detallado de superficies inmersas en variedades Riemannianas, caracterizando las superficies minimales en término de un invariante geométrico conocido como el ángulo de contacto. Para tal finalidad, hemos utilizado herramientas de la Teoría de Contacto, ecuaciones de estructura y tópicos de Variedades Riemannianas. La tesis está organizada en 4 capítulos: inicialmente establecemos los principales elementos matemáticos utilizados en este trabajo, los cuales provienen de la Geometría Riemanniana, y Teoría de Lie. En particular, conceptos tales como campos de vectores, corchetes de Lie de campos de vectores, fibrados, distribuciones, estructuras de contacto, formas diferenciables sobre variedades, grupos y álgebras de Lie, teoría de conexiones; son introducidos y utilizados para alcanzar los objetivos propuestos. Seguidamente, discutimos diversos aspectos relacionados al método del marco referencial para inmersiones y las ecuaciones de estructura. Es importante destacar que debido a la potencialidad como herramienta, sobre todo en superficies inmersas en una variedad Riemanniana, la teoría de contacto tiene enormes aplicaciones en una gama amplia de problemas derivados de la Teoría de Lie y Geometría Diferencial. En el capítulo 3, presentamos un análisis sobre la clasificación de superficies inmersas que tienen alguna propiedad determinada, tal estudio fue realizado considerando un nuevo invariante geométrico, el cual fue introducido recientemente y es de bastante utilidad para la investigación de la geometría de superficies inmersas. A saber el ángulo de contacto, el cual determina una estructura de contacto asociada. Finalmente, formulamos el problema de clasificación de superficies minimales en términos de la noción de ángulo de contacto, sobre el grupo de Lie de Heisenberg. El estudio realizado constituye una base ordenada para establecer nuevos resultados que permitan clasificar superficies mínimas en término de invariantes geométricos, puesto que tal problema actualmente continua siendo objeto de estudio en espacios de dimensión alta.

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GEOMETRIA DE RIEMANN, GEOMETRIA DIFERENCIAL, GEOMETRIA SEMI RIEMANNIANA

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